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O Blog do Prof. Valdivino Sousa pretende de uma forma simples apresentar como a Matemática está presente em tudo, e como ela está inserida em nosso cotidiano.

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05/08/2017

Problema Matemático envolvendo teoria dos números




 
Problema matemático envolvendo teoria dos números. A teoria dos números é o ramo da Matemática que estuda os mistérios dos números e teve sua origem na antiga Grécia. Os belíssimos problemas ligados a esta área constituem, até hoje, uma das principais fontes Inspiradoras dos Amantes da Matemática. Além disso, essa área possui várias aplicações úteis a humanidade, como por exemplo, o processo de criptografia usado em transações pela Internet. Alguns problemas em teoria dos números demoram séculos para serem resolvidos. Pela teoria dos números perfeitos devemos segui a seguinte regra n → (n² + n) de modo que a primeira coluna se multiplica de cima para baixo, numa sequencia de 2 a 10, para que podemos chegar o resultado correto.



Solução: temos: 2, 3, 4, 5, 6, e 9  os números: 7, 8, 9 e 10 o candidato terá que raciocinar e completar a sequencia,  então fica assim: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Agora devemos multiplicá-los de cima para baixo e o resultado tem que seguir também uma sequencia onde o antecessor segue o sucessor. Vamos a resolução: 2x3= 6, 3x4 = 12, 4x5 =20, 5x6 = 30, 6x7= 42, 7x8=56, 8x9 =72, e 9x10 = 90. Portanto, o resultado é 90. 

A história dos números perfeitos começa com os Pitagóricos que postulavam dois tipos diferentes de número perfeito. O primeiro tipo tinha o número 10 como único representante e a perfeição vinha do fato de este número ser o resultado da soma dos quatro primeiros números naturais: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. O segundo tipo era constituído dos números naturais que se igualam à soma de suas partes, tema desta Sala de Estudo.


O próximo personagem entra nesta pequena história dos números perfeitos em, mais ou menos, 300 anos a.C.: Euclides. No IX livro dos Elementos aparece, além da definição de números perfeitos, uma proposição acerca desses números: onde n → (n² + n)  Em linguagem e notação atuais, a proposição afirma que, por exemplo: Considere a sequência 1 21 22 23 … 2n-1. Se a soma 1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-1 (que, como sabemos, é 2n – 1) for um número primo, então 2n-1 × (2n – 1) é um número perfeito.

Outro matemático que também se ocupou com os números perfeitos foi Nicomachus de Gerasa (60-120). Este matemático cometeu erros e acertos ao fazer inferências sobre o tema, a partir dos quatro números perfeitos conhecidos naquela época. Por exemplo, Nicomachus acreditava que o quinto número perfeito teria 5 algarismos, no entanto, como mostrado acima, o quinto número perfeito tem 8 algarismos. Nicomachus também acreditava que os números perfeitos terminariam com os algarismos 6 ou 8 alternadamente. Como veremos mais adiante, todo número perfeito termina com 6 ou 8, mas os exemplos acima mostram que isso não ocorre alternadamente. Mais uma previsão não concretizada: a partir da fórmula descrita por Euclides, Nicomachus afirmara que o quinto número perfeito corresponderia ao primo 11, já que os primeiros perfeitos haviam sido gerados pelos primeiros números primos:
6 = 22-1 × (22 – 1) ;
28 = 23-1 × (23 – 1) ;
496 = 25-1 × (25 – 1) ;
8128 = 27-1 × (27 – 1) .
Porém 211-1 × (211 – 1) não é perfeito e o quinto perfeito é gerado por 13: 33550336= 213-1 × (213 – 1).
Ao longo da história dos números perfeitos, a perfeição dos números 6 e 28 foi reverenciada por outras culturas que observavam que a Lua demora 28 dias para dar uma volta completa sobre a Terra e que Deus teria criado o mundo em 6 dias. Santo Agostinho (354 – 430) afirma em seu livro A Cidade de Deus que:
“O número é perfeito em si mesmo e não porque Deus criou todas as coisas em seis dias. O inverso é mais verdadeiro, Deus criou todas as coisas em seis dias porque este número é perfeito. E continuaria perfeito mesmo que o trabalho de seis dias não existisse.”
Por volta do ano 1.000, o físico e matemático árabe Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (965 – 1040), conhecido como Alhazen, teria percebido que a recíproca da proposição de Euclides sobre números perfeitos era válida, sem, no entanto, conseguir demonstrá-la.
A validade da recíproca da afirmação provada por Euclides de que se 2n – 1 for um número primo, então 2n-1 × (2n – 1) é um número perfeito foi, finalmente, provada no século XVIII, pelo matemático suíço Leonhard Euler. Em notação atual, Euler provou que todos os números perfeitos pares são da forma 2n-1 × (2n – 1) , ou seja,
Se m é um número par que é perfeito, então m é da forma 2n-1 × (2n – 1), para algum natural n tal que 2n-1 seja um número primo.

Pronto, o cerco aos pares perfeitos estava fechado, pois a busca por números pares perfeitos se resume, agora, à busca por números primos da forma 2n-1, já que “se 2n-1 for primo, então 2n-1 × (2n – 1) é perfeito”. Os primos da forma 2n-1 são conhecidos como Primos de Mersenne, em homenagem ao monge matemático francês Marin Mersenne (1588 – 1648), que estudou esses números.

Na história dos números perfeitos, encontramos, também, o matemático francês François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), criador da famosa Torre de Hanói. Édouard Lucas refinou a afirmação de Nicomachus de que os números perfeitos terminariam em 6 ou 8 provando que os números perfeitos pares terminam em 16, ou 28, ou 36, ou 56, ou 76, ou 96. Em 1876 ele também provou que 2127 – 1 = 170141183460469231731687303715884105727 é primo, e este continua sendo o maior número primo descoberto sem a ajuda de um computador. Ele tem 39 dígitos e gerou o seguinte número perfeito:
2126 × (2127 – 1) =14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128 .
Com o surgimento dos computadores, a busca por números primos de Mersenne se intensificou. Vários primos de Mersene e, consequentemente, vários números perfeitos foram encontrados. No entanto, duas perguntas sobre números perfeitos permanecem sem resposta até este momento:

Todos os números perfeitos são pares?
Existem infinitos números perfeitos?

O que se pode afirmar sobre a existência de números perfeitos ímpares é que, se existirem, o menor deles é muito grande: com, pelo menos, 300 dígitos e com muitos fatores primos



Valdivino Sousa é Professor, Matemático, Pedagogo, Contador, Bacharel em Direito e Escritor. Pesquisador sobre Engenharia Didática em Educação Matemática; Modelagem; Construção do Conhecimento em Matemática; Modelos Matemáticos e suas Aplicações. Seu trabalho é reconhecido com Medalha de Mérito como docente pelo Instituto Matematics. É Professor nos cursos de Matemática, Ciências Contábeis, Administração e Engenharia. Dedica-se também a área contábil, com mais de 20 anos de experiência e desde 2005 é Contador responsável da Alves Contabilidade e Consultoria Tributária. Atuante nas seguintes áreas: Tributária, Contábil e das Entidades sem fins Lucrativos. Autor de mais de 10 (dez) livros e têm vários artigos publicados em revistas e jornais especializados nos assuntos de Legislação tributária e contábil. Semanalmente escreve para o portal D.Dez, Jornal da Cidade e Folha Online. Escreve sobre: Educação Matemática, Desenvolvimento e Aprendizagem, Comportamento e Direito,  Site: www.valdivinosousa.mat.br E-Mail: valdivinosousa.mat@gmail.com Cel Whatsap 11- 9.9608-3728.



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Comentários
Juan José Cortés
Paulo Carvalho
Paulo Carvalho 90, pois a regra é n → (n² + n)
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José André
José André 56 é a resposta correta...
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Severino Toscano Melo
Severino Toscano Melo Paulo Carvalho matou a charada. A princípio, também achei que era 72. A pegadinha é que o número da coluna da esquerda passou de 6 para 9 na última linha. Casca de banana mesmo, por isso tanta gente erra.
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Carlos Mattos
Carlos Mattos Kkkk 60 é uma pegadinha 2x3=6 6+6=12 2x4=8 12+8=20 2×5=10 10+20=30 2×6=12 12+30=42 2×9=18 42+18=60
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Sebastiao Luiz Xavier
Sebastiao Luiz Xavier Eu já sei fui bicheiro e matemática e comigo mesmo a prendi muito com meu amigo Anízio Abrão
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Maria Pontes
Maria Pontes · Amigo(a) de Joel Avelino Ribeiro
Joel,acho que é 90...rs
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Joel Avelino Ribeiro
Joel Avelino Ribeiro Vc tem razão.Suprimi o 7 e o 8....
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Sérgio Pompílio Eckert
Sérgio Pompílio Eckert Não precisa complicar a fórmula. Basta observar que a primeira diferença nos resultados é 6. A segunda é 8, A terceira é 10. A quarta é 12. Ou seja, a cada passo a diferença aumenta em 2. Então: 7=56 8=72 e 9 = 90
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Sérgio Pompílio Eckert
Sérgio Pompílio Eckert É só ir seguindo o padrão.
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Braz Lauschner
Braz Lauschner Basta multiplicar o número pelo seu subsequente. Assim, 2x3, 3x4. 4x5, 5x6, 6x7 e 9x10=90.
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João Lima
João Lima 72! Sem dúvidas!
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Elcio Vicente
Elcio Vicente outra resposta: 110...após o sinal de igual os números acrescem de 6,8,10,....no numero 90 + 20= 110
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Domingos Ceravolo
Domingos Ceravolo 8x9=56 - usando a lógica
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Klércio Martins
Klércio Martins Para mim pode ser 56 acrescentando + 14 ou pode ser 72 × 8.
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Milton Procópio de Borba
Milton Procópio de Borba Não é 56, pois saltou de 6 para 9.
É 90.
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Nestor Santos
Nestor Santos 90 novo cálculo
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Valdivino Sousa
Valdivino Sousa A teoria dos números é o ramo da Matemática que estuda os mistérios dos números e teve sua origem na antiga Grécia. Os belíssimos problemas ligados a esta área constituem, até hoje, uma das principais fontes Inspiradoras dos Amantes da Matemática. Além disso, essa área possui várias aplicações úteis a humanidade, como por exemplo, o processo de criptografia usado em transações pela Internet. Alguns problemas em teoria dos números demoram séculos para serem resolvidos. Pela teoria dos números perfeitos devemos segui a seguinte regra n → (n² + n) de modo que a primeira coluna se multiplica de cima para baixo, numa sequencia de 2 a 10, para que podemos chegar o resultado correto.
Solução: temos: 2, 3, 4, 5, 6, e 9 os números: 7, 8, 9 e 10 o candidato terá que raciocinar e completar a sequencia, então fica assim: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Agora devemos multiplicá-los de cima para baixo e o resultado tem que seguir também uma sequencia onde o antecessor segue o sucessor. Vamos a resolução: 2x3= 6, 3x4 = 12, 4x5 =20, 5x6 = 30, 6x7= 42, 7x8=56, 8x9 =72, e 9x10 = 90. Portanto, o resultado é 90.
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William Kfouri
William Kfouri Ops! Foi errado. .. o correto é 90!

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