Fazendo relação do que eles conhecem do seu
convívio sócio-cultural com o que a escola ensina, além de fornecer
elementos básicos para a participação desses alunos para a vida em
sociedade. Hoje, entende-se que uma educação de qualidade só é alcançada
pelo aluno se o professor levá-lo a refletir sobre situações que o
rodeia no mundo real, na busca de fazer com que esse aluno vislumbre a
aprendizagem seja matemática ou não fazendo relações.
Palavras-chave: A aprendizagem matemática com significação.
Introdução
No âmbito escolar, a educação da matemática é
vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer
suas diferenças. Na escola a criança deve envolver-se com atividades
matemáticas que a educam nas quais ao manipulá-las ele construa a
aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se
manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações
criadas pelo homem, entre sociedade e natureza.
Mas, a construção desse conhecimento pelos alunos
ainda está muito longe porque a prática desenvolvida por muitos
professores ainda é tradicional, a prática deles não leva seus alunos a
construírem uma aprendizagem voltada para a realidade na qual seus
alunos participam.
As críticas acerca dos resultados negativos do
ensino da matemática levam professores comprometidos com a educação da
matemática nas séries iniciais do ensino fundamental a buscarem caminhos
para solucionar essas deficiências apresentadas pelos alunos, eles
buscam ensinar a matemática voltada à realidade dos alunos.
Infelizmente o ensino da Matemática, em muitas
escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como
um instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de
professores tem como único objetivo ensinar a Matemática sem se
preocuparem em repassar para o aluno um conhecimento matemático
significativo.
No entanto as críticas, que de todos os lados se
levantam contra os vários aspectos e resultados do ensino da
Matemática, vêm, em todo o mundo, ocasionando debates que levam os
profissionais da área a repensar o seu papel e a procurar novas
estratégias didáticas. Eles buscam atividades matemáticas que sejam
realmente educativas e não meramente um treino em uma linguagem sem
sentido para o aluno.
Se o professor conseguir trabalhar nessa linha, a
Matemática será um instrumento de primeira para educar o indivíduo
socialmente. Mas ainda, ela será um instrumento ímpar para trabalhar sua
formação. Basta lembrarmos que ela é uma das atividades humanas que
exigem o trabalho simultâneo dos dois hemisférios cerebrais, como vimos
no fascículo 1 de Contactos Matemáticos do Primeiro Grau de Reginaldo
Naves de Souza Lima. A aplicação de pelos menos dezoito raciocínios e a
utilização de pelo menos três inteligências, tendo um fundo emocional
não desprezível que a maioria das pessoas desconhece.
Profissionais da área que se preocupam em
desmistificar o ensino da Matemática acreditam que é possível alcançar
esses objetivos desde que seja levada em consideração a realidade das
influências sofridas pelos alunos em sala de aula de Matemática. Para
eles, em verdade está a influência de pelo menos quatro elementos: 1º o
professor – 2º o conhecimento lógico-matemático – 3º o ambiente (pais,
administração escolar, colegas e espaço físico) – 4º o aluno.
Na vida, ninguém quer enfrentar dificuldades,
suportar dores ou ter sofrimentos indevidos. Por outro lado, as coisas
que são capazes de provocar satisfação real nas pessoas não causam
aborrecimento a elas, porque nelas, as pessoas sempre descobrem
experiências novas. É razoável então, pensar que as abordagens da
aprendizagem que não conseguem dar satisfação às pessoas ou manter seu
interesse, não trarão mais alegria e plenitude para a vida delas. Assim,
para levar o aluno a aprender, é necessário fazer que o objeto da
aprendizagem lhe se agradável e divertido.
A criança e o jovem gostam de movimentar-se,
conversar, perguntar, rabiscar, brincar, colorir, cantar, jogar e,
principalmente, agir. Em Educação Matemática, todas essas ações que a
criança ou jovem adoram tornam-se veículos estupendos para o aluno
aprender. Pois, além de satisfação e alegria, é necessário compreender
que a criança ou jovem tem que se formar para enfrentar o mundo a sua
frente; infelizmente, muitos não sobrevivem a esse enfrentamento.
Para que sobrevivam ao máximo, a aprendizagem que
a escola propicia deve preparar esse indivíduo, então, à flexibilidade.
Isto significa que, a cada instante, as pessoas são exigidas a se
safarem de situações-problemas de diferentes aspectos. Deverão aprender a
resolver essas situações-problemas para serem consideradas capazes para
assumirem responsabilidades.
Então, só é possível deflagrar ideias
matemáticas na cabeça de alguém, se esse alguém é colocado diante de uma
situação envolvente que lhe seja problemática, interessante, desafiante
e, ao mesmo tempo, que seja capaz de estimulá-lo a aprender. Não é uma
situação lida em livro, não é uma situação apenas explicada oralmente,
descrita ou exposta no quadro negro pelo professor. Tem que ser uma
situação que vislumbre o aluno, que faça com que ele consiga aprender
plenamente. Infelizmente, algumas escolas e professores não estão
preparados para isso, falham por serem incapazes de realizar tal
situação.
Aprendemos nesses estudos matemáticos que a
aprendizagem matemática da criança tem que acontecer com atividades que
lhe tragam significação. Atualmente algumas escolas e professores têm
dado o conhecimento matemático pronto e acabado para o aluno. Não
permitem ao aluno construir sua aprendizagem estabelecendo essa relação
de significação.
O conhecimento matemático tem que ser
construído pelo aluno por meio de atividades que lhe despertem o
interesse para aprender. Fazendo relações do que ele vê dentro da escola
com o que ele já conhece fora da escola. Compartilhado por ele no seu
convívio sócio-cultural.
Nosso trabalho foi dividido em momentos.
No primeiro refletiremos acerca do ensino da Matemática, abordando sobre
os estudos de Gardner acerca das inteligências múltiplas, o ensino da
matemática e a avaliação da aprendizagem. No segundo, discutiremos sobre
a criança e a ideia do número e sua representação. No terceiro, um
enfoque ao ensino da Geometria. Por fim, trazemos nossas considerações
finais e as obras pesquisas para se concluir este relatório de final de
área.
1 Reflexão acerca do ensino da Matemática
A Matemática surgiu na antiguidade por
necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de
variedades e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as
leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do
mundo e domínio da natureza.
Com um conhecimento superficial matemático,
é possível reconhecer certos traços que a caracterizam: abstração,
previsão, vigor lógico, caráter irrefutável de suas conclusões, bem como
o extenso campo de suas aplicações.
A Matemática move-se quase exclusivamente
no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para
demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e
cálculos.
Em sua origem, a matemática constituiu-se a
partir de uma coleção de regras isoladas de decorrentes experiências
diretamente conectadas com a vida diária. Da mesma forma, a
sobrevivência numa sociedade complexa, que exige novos padrões de
produtividades, depende cada vez mais do conhecimento matemático. É
importante destacar que a matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode fornecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de
sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade e estética e de sua
imaginação.
No âmbito escolar, a educação matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferentes mudanças e implicações. Segundo D`Ambrósio, a matemática tem sido concebida e tratada como conhecimento congelado, criando barreiras entre o educando e o objeto de estudo por não possuir a dinâmica do mundo na qual o mesmo está inserido.
No âmbito escolar, a educação matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferentes mudanças e implicações. Segundo D`Ambrósio, a matemática tem sido concebida e tratada como conhecimento congelado, criando barreiras entre o educando e o objeto de estudo por não possuir a dinâmica do mundo na qual o mesmo está inserido.
A história nos mostra que o ensino da
matemática foi organizado a partir das necessidades de cada povo. Os
primeiros indícios de construção de conhecimentos matemáticos são
heranças dos povos egípcios e babilônios (2500 a.c). Esses povos a
usavam para resolver problemas práticos, geralmente ligados ao comércio,
cálculo de impostos, construções de habitações, monumentos funerários e
medidas de terras. Porém a concepção do conhecimento matemático
abstrato, independente do empírico, influência, até hoje, na matemática
que se quer ensinar na escola.
1.1 As Inteligências Múltiplas de Gardner e o ensino da Matemática
No início da década de 1980, Howard
Gardner, claramente explica em suas obras, as teorias das inteligências
múltiplas que possui atualmente milhares de adeptos e que se constituiu
como prática pedagógica de inúmeras escolas no mundo inteiro.
As repercussões do avanço científico
representado pelo conhecimento do cérebro são extremamente
significativas para a medicina na compreensão de disfunções mentais e
para o cuidado das enfermidades e patologias cerebrais. Também na
educação, que lança novas bases e, eventuais diretrizes, para
compreender a aprendizagem, desenvolve estímulos às inteligências com o
fim de cuidar dos distúrbios ligados à atenção, criatividade e
memorização.
Segundo Gardner o nosso cérebro abriga oito inteligências ou capacidades, são elas:
- Linguística ou Verbal, é extremamente encontrada em profissionais como poetas, escritores, advogados, atores e outros, que fazem da palavra e das sentenças verdadeiras peças com os quais edificam a beleza do falar.
- Lógico-matemática, se apresenta de forma inusitada em grandes nomes como os de Einstein, Bertrand Russel, Euclides, Pitágoras e outros. Esta capacidade é principalmente encontrada nos engenheiros e projetistas. Manifesta-se pela capacidade e sensibilidade de discernir padrões lógicos ou numéricos e a capacidade de trabalhar com longas cadeias de raciocínio. Os estímulos para seu desenvolvimento estruturaram na pessoa novas formas sobre o pensar e uma percepção apurada dos elementos da grandeza, peso, distância, tempo e outros elementos que envolvem nossa ação sobre o ambiente.
- Espacial, esta muito ligada à criatividade e a concepção, no plano espacial, de sólidos geométricos. Marcante em arquitetos, publicitários e inventores, associa-se também a própria compreensão do espaço como um todo e a orientação da pessoa e seus limites.
- Sonora ou Musical, esta associada com a percepção do som como unidade e linguagem. Essa capacidade se encontra de forma marcante em grandes nomes como: Mozart, Beethoven e outros. Também se apresenta de forma evidente em pessoas comuns que conseguem perceber com singularidade o acorde de uma música.
- Cinestésico-corporal, é a capacidade de desenvolver movimentos que expressam a linguagem corporal. Marca de forma expressiva a capacidade de comunicação de profissionais como mímicos, mágicos, bailarinos, atletas e outros.
- Naturalista, Biológica ou Ecológica, esta capacidade está estruturalmente ligada aos animais e vegetais. Se encontra presente em grande nomes das Ciências Naturais como Darwin, Laplace, Humboldt e outros, manifesta-se em diferentes níveis de capacidade, por exemplo, do jardineiro ao paisagista, do amante da natureza a florista.
- Intrapessoal, que está ligada a percepção da própria identidade, pois o indivíduo que a tem de forma aguçada tem plena compreensão do eu, pois consegue discernir e discriminar as próprias emoções.
- Interpessoal, que está associada à empatia, ou seja, a relação de afetividade que se dá entre os indivíduos, tendo o outro como objeto de plena descoberta. O indivíduo que apresenta está capacidade de forma aguçada consegue perceber as mudanças de temperamentos, estados de humor, motivações e desejos das outras pessoas.
Cabe a escola estimular nos
alunos essas inteligências por meio de estratégias pedagógicas (jogos,
brinquedos e brincadeiras), de forma que eles consigam desenvolver suas
habilidades e competências. Assim, é importante que o professor saiba
como atuar pedagogicamente com seus alunos para que eles alcancem esses
objetivos. Porque durante muitos anos, o cérebro humano foi considerado
como sendo uma área impenetrável. Há muitas décadas já se compreendia o
funcionamento de várias partes do corpo humano, mas, o cérebro ainda era
considerado como sendo uma estrutura impenetrável, apenas era possível
visualizá-lo após o falecimento de suas funções neuronais. Nos dias de
hoje, estudos acerca do funcionamento da mente e do cérebro vêm se
tornando cada vez mais populares, pois, atualmente dispomos de novas
tecnologias que são capazes de fornecer subsídios mais concretos sobre
estes assuntos.
Quanto ao entendimento de como ocorre a
aprendizagem da matemática, a Psicologia da Educação relaciona a
proposição numa abordagem integrada do individuo humano que se dispõe a
aprender matemática como alguém possuidor de uma subjetividade sempre
embebida em um contexto cultural especifico, porém jamais submetida ou
diretamente moldada por este ultimo. Abordar esta mesma discussão agora
de um ponto de vista metodológico implica eleger o foco de analise
suficientemente circunscrito para ser pesquisado e, simultaneamente,
complexa pra ser representativo das situações de aprendizagem em
matemática, de forma a se poder construir uma boa narrativa a cerca de
pessoas envolvidas em atividades de aprendizagem da matemática. “ O
cérebro funciona em módulos cooperativos que se ajudam na hora de
recuperar informações. Quanto mais caminhos levam a ela, mais fácil será
o resgate”, (Revista Nova Escola, p. 44, 06/2003).
1.2 A avaliação da aprendizagem matemática
Atualmente as escolas, na sua grande
maioria, possuem uma política de avaliação de rendimento escolar
centrada por assim dizer, na dicotomia aprovação/reprovação. Neste
contexto, não há espaço para uma prática de avaliação, que ajude na
identificação de superação de dificuldades no processo de ensino e
aprendizagem, tanto do aluno como do professor.
A avaliação na maioria das nossas escolas,
públicas ou não, é eminentemente somativa, sempre preocupada com os
resultados finais que levam a situações irreversíveis no que diz
respeito ao desempenho dos alunos, sem que sejam levadas em contas a
muitas implicações, inclusive sociais, de um processo decisório fatal do
ponto de vista educativo.
Avaliar a aprendizagem corresponde a uma necessidade social. A escola recebe o mandato social de educar as novas gerações e por isso, deve responder por esse mandato, obtendo dos seus educandos a manifestação de suas condutas aprendidas e desenvolvidas“ (LUCKESI, p.174,2002).
Nos valendo das ideias de Piaget (1991) que
considera que a escola e alguns professores têm retirado a autonomia do
aluno como meio para desenvolver a aprendizagem com maior eficiência e
criatividade. Segundo ele, os professores com atitudes negativas não
encorajam os alunos a desenvolverem e a atingirem a esta autonomia,
limitando muito o desenvolvimento do pensamento crítico, isto, os
professores com atitudes negativas dão oportunidade aos alunos de
persistirem em seus próprios esforços. Portanto, é de fundamental
importância que as escolas desenvolvam programas que ajudem não apenas o
aluno, mas também os professores a desenvolver atitudes favoráveis em
relação a aprendizagem matemática.
É fundamental ver o aluno como um ser
social e político sujeito de seu próprio desenvolvimento. O professor
não precisa mudar suas técnicas, seus métodos de trabalhos; precisa sim,
ver o aluno como alguém capaz de estabelecer uma relação cognitiva e
efetiva, mantendo uma ação interativa capaz de uma transformação
libertadora, que propicia uma vivencia harmoniosa com a realidade
pessoal e social que o envolve.
Assim, compreendemos que o professor que
leciona matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental deve agir
sempre como facilitador, aquele que ajuda o aluno a superar seus
limites. Valendo-se de atividades e avaliações criativas que permita ao
seu aluno construir a aprendizagem de forma significativa, ou seja, que o
faça interagir conhecimento escolar com o meio social no qual está
inserido.
2 A criança e a ideia do número e sua representação
2.1 O número natural
O Número Natural nasceu da necessidade de
se compararem umas as outras grandezas discretas. As combinações dessas
grandezas deram origem à ideia de operação sobre números. A pratica da
adição e o conhecimento mais ou menos claro das suas propriedades fazem
parte da atividade mental elementar. Reunir coleções distintas em uma
única, e prever o resultado, essa operação banal é a gênese do
pensamento matemático.
Os documentos de fontes babilônica e
egípcia revelam, desde épocas muito remotas, um grande adiantamento nos
processos de cálculos, compreendendo a adição, a multiplicação, a
divisão, a determinação de quadrados e cubos. As tabuas babilônicas
remontam ao ano 2300 a.C., e empregam os sistemas de numeração decimal e
sexagesimal. Serviam os cálculos e fins exclusivamente utilitários; nas
medidas, nas trocas comercia nas combinações do calendário, etc.
O numeral, de acordo com Piaget, e uma
síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objeto
(por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão
hierárquica.
A teoria do número de Piaget também é
contrária ao pressuposto comum de que os conceitos numéricos podem ser
ensinados pela transmissão social como o conhecimento social
(convencional), especialmente em relação ao ato de ensinar as crianças a
contar. Exemplos de conhecimentos sociais (convencional) são os que se
referem a fatos como de que o natal sempre ser comemorado no dia 25 de
dezembro, que algumas pessoas cumprimentam-se em certas circunstâncias,
apertando as mãos, e que as mesas não foram feitas para que se fique de
pé sobre elas.
A origem fundamental do conhecimento social é
pautada em convenções construída pelas pessoas. A característica
principal do conhecimento social e a de que possui uma natureza
amplamente arbitrária. O mesmo objeto pode ter diversos nomes varias
línguas distintas, uma vez que não exista nenhuma relação física ou
lógica entre um objeto e seu nome. Portanto, para a criança construir o
conhecimento social e indispensável a interferência de outras pessoas.
Portanto, a visão de Piaget constata com a
crença de que um mundo dos números em direção ao que toda criança deve
ser socializada. Pode-se afirmar que há consenso a respeito da soma de
2+3, mas nem o número, nem a adição estão lá fora, no mundo social, para
serem a resposta correta para 2+3, mas não será possível ensinar-lhes
diretamente as relações que subjazem esta adição. Da mesma forma, até as
crianças de dois anos podem ver a diferença entre uma pilha de três
blocos e uma de dez. Mas isto não implica que o número esteja lá fora,
no mundo físico, para ser aprendido através da abstração empírica. “A
atividade matemática escolar não é um olhar para as coisas prontas e
definidas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo
aluno, que se servira dele para compreender e transformar sua
realidade”, (PCN: Matemática, p.19, 2001).
A criança que já construiu o conhecimento
lógico-matemático é capaz de representar esta ideia com símbolos ou com
signos. Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no sentido de
que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos
representados e são criados pela criança.
O objetivo para ensinar o número e o da
construção que a criança faz da estrutura mental de número uma vez que
esta não pode ser ensinada diretamente, o professor deve priorizar o ato
de encorajar a criança a pensar ativa e autonomamente em todos os tipos
de situações. Uma criança que pensa ativamente, constrói o número. A
tarefa do professor a encorajar o pensamento espontâneo da criança, o
que é muito difícil porque a maioria de nos foi treinada para obter das
crianças a produção de respostas certas. As relações são criadas pelas
crianças a partir de seu interior e não lhe são ensinadas por outrem. No
entanto, o professor tem um papel crucial na criação de ambiente
material e social que encoraje a autonomia e o pensamento.
As crianças podem saber como recitar números
numa sequência correta, não escolhem necessariamente usar esta aptidão
como ferramenta confiável. Quando a criança constrói a estrutura mental
do número e assimila as palavras e esta estrutura a contagem torna-se um
instrumento confiável. No entanto, antes dos sete anos de idade, a
correspondência um a um, a copia da configuração espacial, ou mesmo
estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais
viáveis.
As crianças não aprendem conceitos
numéricos com desenhos. Tampouco aprendem conceitos numéricos meramente
pela manipulação de objetos.Elas constroem esses conceitos pela
abstração reflexiva a medida em que atuam (mentalmente) sobre os
objetos.
Hoje em dia, os educadores da educação
pré-primaria frequentemente definem seus objetivos dizendo que as
crianças devem aprender os chamados conceitos, tais como os de números,
letras cores, formas geométricas, em cima, embaixo, entre, da esquerda,
mais cumprido, primeiro, segundo terceiro e etc.
Algumas habilidades matemáticas que a
criança pré-escolar e ate a idade de 8 anos apresenta antes mesmo de ser
formalmente instruída sobre conceitos matemáticos. Essas habilidades
referem-se aos conceitos espontâneos que a criança constrói a partir de
suas experiências e ações sobre o mundo. “É possível concluir que existe
um conhecimento intuitivo, espontâneo, sobre adição e a subtração desde
muito cedo, conhecimento este que antecede a instrução escolar”,
(Revista SBEM, nº 3, p. 43, 2º sem 1994).
Na teoria piagetiana, a brincadeira não
recebe uma conceituação especifica. Entendida como ação assimiladora, a
brincadeira aparece como forma de expressão da conduta, dotada de
características metafóricas com espontânea, prazerosa, semelhantes as do
romantismo da Biologia. Ao colocar a brincadeira dentro do conteúdo da
inteligência e não na estrutura cognitiva, Piaget distingue a construção
das estruturas mentais da aquisição de conhecimentos. A brincadeira
enquanto processo assimilativo e participa da inteligência, a semelhança
da aprendizagem.
Através do lúdico a criança assume o
conteúdo matemático com a finalidade de desenvolver habilidades de
resolução, dando a si mesma a oportunidade de estabelecer e atingir
determinados objetivos. Na maioria das vezes os professores deixam de
buscar alternativas pedagógicas que favoreçam aos alunos construírem a
aprendizagem de forma que eles sejam capazes de desenvolverem suas
habilidades e competências. Penso que, é bastante importante para o
professor estar sempre atento para ampliar meios e recursos para
estimular o interesse e a participação da criança na sala de aula.
Acredito que, uma criança entenderá de melhor maneira os números e as
operações matemáticas se puderem manipular materiais concretos. Pois a
criança conseguirá, desta maneira, estabelecer as relações necessárias
entre o conhecimento dado na escola com o que ela conhece de mundo.
2.2 O número racional
O estudo do número racional é geralmente
desenvolvido pela escola de forma fragmentada. O conceito de número
racional, por ser bastante complexo do ponto de vista matemático, gera
uma serie de dificuldades no processo ensino-aprendizagem, cuja
superação tem motivado a realização de pesquisas.
Sumérios, egípcios e babilônios já usavam
frações em 3100 a.C. quando registravam em tabuletas de argila fresca o
inventário de seus bens com sacos de grãos, etc. As representações eram
esquisitas, bem diferentes da atual. Um lado da tabuleta trazia a
quantidade dos bens. Os totais vinham no verso. Como no criptograma das
palavras cruzadas, os símbolos foram decifrados pelos historiadores
depois de seguidas substituições nas duas faces das tabuletas. Primeiro
se chegou aos inteiros, entalhes simples que se repetiam. Como esses
números eram sempre registrados em ordem crescente, concluiu-se que o
que estava à esquerda da unidade era sempre uma fração.
Aguiar (1980), desenvolveu um estudo com o
objetivo de analisar, dentre outros, a natureza dos processos
envolvidos na construção do conceito de fração, verificando que as
relações parte-todo e parte-parte, indicadas por Piaget, entram no
desenvolvimento dos conceitos de frações...idênticas e equivalentes,...
inicialmente, através da contagem e da impressão perceptiva da magnitude
das figuras geométricas, e sem que haja articulação entre esses dois
processos (p.6-7).
Lima (1985) analisou o desenvolvimento dos
conceitos de fração e de conservação em quantidades discretas e
contínuas, constatando que a conservação da quantidade discreta (de
coleções) antecede a conservação de quantidades contínuas (áreas,
volumes etc.), em geral, em torno de um ano, pelo fato da criança lidar
muito cedo com conjuntos e coleções. Iniciar, portanto, o estudo da
fração utilizando coleções e fracionando as mesmas talvez seja o mais
indicado.
Guimarões e Silva (1991), observaram que as
dificuldades dos alunos e dos professores envolvendo as frações com
quantidades discretas eram as mesmas, embora estes tenham apresentado um
melhor desempenho que os alunos, resolvendo as frações com quantidades
contínuas. Encontraram, trataram, também, indicações de que as
dificuldades se relacionavam mais ao ensino do que aobstáculos relativos
ao desenvolvimento dos alunos. Para aprofundar a analise sobre
dificuldades na resolução de problemas com frações, Carraher e
Schliemann (1992) investigaram a utilização de frações literais e
frações relativas. Concluíram que havia uma grande tendência, por parte
de alunos, em relacionar o numerador e o denominador, respectivamente,
ao numero de elementos marcados e ao numero total de elementos de um
conjunto. Quando não havia essa relação muitos alunos não aceitavam a
fração como uma representação da figura.
Os resultados das análises quantitativas
evidenciaram o progresso dos alunos, com a intervenção e os seguintes
aspectos: os alunos não cogitam de que a divisão tem que ser em partes
iguais para que se obtenha uma fração; as questões de equivalência
crescem em dificuldade quanto há necessidade de um passo intermediário; é
muito difícil para os alunos estabelecerem relações entre as questões
que envolvem representações gráficas relacionadas com equivalência; as
dificuldades nas questões de ordenação aumentam sensivelmente quando o
número de frações é maior do que dois.
A noção de equivalência é em geral explorada apenas por meio da regrinha obtêm-se uma fração equivalente a uma fração dada, multiplicando ou dividindo mero, diferente de zero. Ela, no entanto, não diz nada ao aluno.
O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidenciar uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos. (PCN: Matemática, p.45, 2001).
O conceito de frações equivalentes como
àquelas que representam a mesma quantidade só pode ser construído a
partir de experiências concretas e representações gráficas que são dadas
aos alunos por meio de atividades lúdicas que trazem a realidade que
eles vivenciam para a sala de aula.
3 Um enfoque ao ensino geométrico
O homem neolítico representava elementos do seu
convívio, através de desenhos, criando utensílios e instrumentos para
expressar as relações vivenciadas por ele no seu dia-a-dia. Ele
registrou a historia e demonstrou preocupação com, as relações
espaciais. As primeiras considerações que o homem fez a respeito da
Geometria são, inquestionavelmente, muito antigas. Parecem ter se
originado de simples observações provenientes da capacidade humana de
reconhecer configurações físicas de comparação de formas e tamanhos.
Num outro período histórico, os egípcios
utilizaram processos de medição de terras com a finalidade de resolver o
problema oriundo das enchentes anuais do rio Nilo que apagava as
demarcações das terras ao seu redor. Essas demarcações foram
determinantes para regularizar as posses e efetuar a cobrança dos
impostos sobre as terras. Todos esses conhecimentos antigos foram
deixados como experiência para a posteridade.
Inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo
do homem mais primitivo, o levavam a um certo montante de descobertas
geométricas subconscientes. A noção de distância foi, sem dúvida, um dos
primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos. A necessidade de
delimitar a terra levou à noção de figuras simples tais como retângulos
e quadrados. Outros conceitos geométricos simples, como as noções de
vertical, paralelismo e perpendicularismo, teriam sido sugeridos pela
construção de muros e moradias.
O homem ao criar, construir, resolver as situações-problemas, ele toma consciência de si mesmo e de tudo que o cerca, assimila conceitos, descobre relações, formula generalidades que os leva a construir o conhecimento matemático geométrico. (LIMA e VILA, fascículo. Nº 8, 2002)
As muitas observações do cotidiano levaram o
homem primitivo à concepção de curvas, superfícies e sólidos. Por
exemplo, há registro de figuras desenhadas em paredes de cavernas que
sugerem círculos numerosos, entre outros o contorno do sol e da lua, o
arco-íris, as sementes de muitas flores e o corte transversal de um
tronco de árvore.
Em outros registros aparece o desenho do
lançamento de uma pedra, que arremessada descreve o trajeto de uma
parábola; uma corda não esticada e pendurada pelas pontas forma uma
catenária; uma corda enrolada forma um espiral; os círculos de
crescimento do tronco de uma árvore, os círculos concêntricos provocados
na superfície de um lago por uma pedra nele arremessada e figuras sobre
certas conchas que sugerem a ideia de famílias de curvas.
Muitas frutas e seixos são esféricos e
bolhas de água são hemisféricas; alguns ovos de pássaros são
aproximadamente elipsóides de revolução; um anel é um toro; troncos de
arvores são cilindros circulares; configurações cônicas são
frequentemente encontradas na natureza. Oleiros primitivos construíam
muitas superfícies e sólidos de revolução. Corpos de homens e animais, a
maioria das folhas e flores e certas conchas e cristais ilustram a
ideia de simetria. A ideia de volume surge imediatamente ao se
considerarem recipientes para conter líquidos e outras mercadorias.
Assim, podemos dizer que a geometria empregada pelo homem primitivo para
fazer ornamentos decorativos e desenhos preparou o caminho para o
desenvolvimento geométrico posterior.
Por volta do ano 600 a.C., os gregos
começaram a introduzir a dedução geométrica, dando origem ao que hoje
consideramos geometria demonstrativa. Com o passar do tempo esse olhar
sobre o pensamento geométrico tornou-se o estudo axiomático-material do
espaço físico idealizado: formas, tamanhos e relações de objetos físicos
contidos no espaço. Para os gregos só havia um espaço físico e uma
única geometria; estes eram conceitos absolutos, o espaço não era
pensado como uma coleção de ponto de vista, a relação básica em
geometria era a de congruência ou superposição.
Por um longo tempo a compreensão da geometria
esteve intimamente ligada ao espaço físico, começando na verdade como
uma acumulação gradual de noções subconscientes sobre o espaço físico e
as formas contidas nesse espaço. A essa visão primitiva damos o nome de
geometria subconsciente. Mais tarde, a inteligência humana evoluiu
tornando-se capaz de consolidar conscientemente algumas das noções
primitivas da geometria num conjunto de leis e regras um tanto geral. Os
estudiosos chamam essa fase laboratorial do desenvolvimento do
pensamento geométrico de geometria cientifica.
Todos esse caminhar concuminou na atual
conhecimento chamada de geometria analítica que, na primeira metade do
século XVII, passa a considerar o espaço como sendo como uma coleção de
pontos. Com a invenção da geometria não euclidiana clássica, cerca de
dois séculos mais tarde, os matemáticos aceitaram a situação de que há
mais do que um espaço concebível e, portanto, mais do que um só olhar
geométrico. Mas o espaço ainda era considerado como um lugar onde as
figuras podiam ser comparadas entre si. A ideia central tornou-se a de
um grupo de transformações congruentes do espaço em si mesmo, e a
geometria passou ser considerada como estudo das propriedades das
configurações de pontos que permanecem inalterados, como os espaços
circundantes que estão sujeitos constantemente a transformações.
Há muitas áreas da matemática em que a
introdução de um procedimento e uma terminologia geométrica simplifica
na compreensão como a apresentação de um determinado conceito ou
desenvolvimento. Isto está se tornando cada vez mais evidente, tanto que
muitos matemáticos do século XX sentem que talvez a melhor maneira de
descrever a geometria hoje não seja como um corpo de conhecimentos, algo
separado e determinado, mas como um ponto de vista, uma maneia
particular de observar o espaço
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