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10/03/2018

O ensino da matemática com significação nos anos iniciais da educação básica


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 O conteúdo deste trabalho foi desenvolvido pela acadêmica Sueli dos Santos do curso de Pedagogia modalidade Licenciatura para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental do Núcleo Aberto e a Distância do Instituto de Educação da Universidade Federal de Mato Grosso, para conclusão da área de Matemática. Preocupa-se em discutir sobre como o processo de ensino-aprendizagem da Matemática deve acontecer nos alunos dos Anos Iniciais da Educação Básica com significação. Porque é importante que os alunos das Séries Iniciais do Ensino Fundamental construam o pensamento lógico-matemático de forma organizada. 

Fazendo relação do que eles conhecem do seu convívio sócio-cultural com o que a escola ensina, além de fornecer elementos básicos para a participação desses alunos para a vida em sociedade. Hoje, entende-se que uma educação de qualidade só é alcançada pelo aluno se o professor levá-lo a refletir sobre situações que o rodeia no mundo real, na busca de fazer com que esse aluno vislumbre a aprendizagem seja matemática ou não fazendo relações.
Palavras-chave: A aprendizagem matemática com significação.

Introdução

No âmbito escolar, a educação da matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferenças. Na escola a criança deve envolver-se com atividades matemáticas que a educam nas quais ao manipulá-las ele construa a aprendizagem de forma significativa, pois o conhecimento matemático se manifesta como uma estratégia para a realização das intermediações criadas pelo homem, entre sociedade e natureza.
Mas, a construção desse conhecimento pelos alunos ainda está muito longe porque a prática desenvolvida por muitos professores ainda é tradicional, a prática deles não leva seus alunos a construírem uma aprendizagem voltada para a realidade na qual seus alunos participam.
As críticas acerca dos resultados negativos do ensino da matemática levam professores comprometidos com a educação da matemática nas séries iniciais do ensino fundamental a buscarem caminhos para solucionar essas deficiências apresentadas pelos alunos, eles buscam ensinar a matemática voltada à realidade dos alunos.
Infelizmente o ensino da Matemática, em muitas escolas e por muitos professores, ainda está direcionado para atuar como um instrumento disciplinador e excludente. Uma grande maioria de professores tem como único objetivo ensinar a Matemática sem se preocuparem em repassar para o aluno um conhecimento matemático significativo.
No entanto as críticas, que de todos os lados se levantam contra os vários aspectos e resultados do ensino da Matemática, vêm, em todo o mundo, ocasionando debates que levam os profissionais da área a repensar o seu papel e a procurar novas estratégias didáticas. Eles buscam atividades matemáticas que sejam realmente educativas e não meramente um treino em uma linguagem sem sentido para o aluno. 

Se o professor conseguir trabalhar nessa linha, a Matemática será um instrumento de primeira para educar o indivíduo socialmente. Mas ainda, ela será um instrumento ímpar para trabalhar sua formação. Basta lembrarmos que ela é uma das atividades humanas que exigem o trabalho simultâneo dos dois hemisférios cerebrais, como vimos no fascículo 1 de Contactos Matemáticos do Primeiro Grau de Reginaldo Naves de Souza Lima. A aplicação de pelos menos dezoito raciocínios e a utilização de pelo menos três inteligências, tendo um fundo emocional não desprezível que a maioria das pessoas desconhece. 

Profissionais da área que se preocupam em desmistificar o ensino da Matemática acreditam que é possível alcançar esses objetivos desde que seja levada em consideração a realidade das influências sofridas pelos alunos em sala de aula de Matemática. Para eles, em verdade está a influência de pelo menos quatro elementos: 1º o professor – 2º o conhecimento lógico-matemático – 3º o ambiente (pais, administração escolar, colegas e espaço físico) – 4º o aluno. 

Na vida, ninguém quer enfrentar dificuldades, suportar dores ou ter sofrimentos indevidos. Por outro lado, as coisas que são capazes de provocar satisfação real nas pessoas não causam aborrecimento a elas, porque nelas, as pessoas sempre descobrem experiências novas. É razoável então, pensar que as abordagens da aprendizagem que não conseguem dar satisfação às pessoas ou manter seu interesse, não trarão mais alegria e plenitude para a vida delas. Assim, para levar o aluno a aprender, é necessário fazer que o objeto da aprendizagem lhe se agradável e divertido.
A criança e o jovem gostam de movimentar-se, conversar, perguntar, rabiscar, brincar, colorir, cantar, jogar e, principalmente, agir. Em Educação Matemática, todas essas ações que a criança ou jovem adoram tornam-se veículos estupendos para o aluno aprender. Pois, além de satisfação e alegria, é necessário compreender que a criança ou jovem tem que se formar para enfrentar o mundo a sua frente; infelizmente, muitos não sobrevivem a esse enfrentamento. 


Para que sobrevivam ao máximo, a aprendizagem que a escola propicia deve preparar esse indivíduo, então, à flexibilidade. Isto significa que, a cada instante, as pessoas são exigidas a se safarem de situações-problemas de diferentes aspectos. Deverão aprender a resolver essas situações-problemas para serem consideradas capazes para assumirem responsabilidades.
Então, só é possível deflagrar ideias matemáticas na cabeça de alguém, se esse alguém é colocado diante de uma situação envolvente que lhe seja problemática, interessante, desafiante e, ao mesmo tempo, que seja capaz de estimulá-lo a aprender. Não é uma situação lida em livro, não é uma situação apenas explicada oralmente, descrita ou exposta no quadro negro pelo professor. Tem que ser uma situação que vislumbre o aluno, que faça com que ele consiga aprender plenamente. Infelizmente, algumas escolas e professores não estão preparados para isso, falham por serem incapazes de realizar tal situação.
Aprendemos nesses estudos matemáticos que a aprendizagem matemática da criança tem que acontecer com atividades que lhe tragam significação. Atualmente algumas escolas e professores têm dado o conhecimento matemático pronto e acabado para o aluno. Não permitem ao aluno construir sua aprendizagem estabelecendo essa relação de significação.
O conhecimento matemático tem que ser construído pelo aluno por meio de atividades que lhe despertem o interesse para aprender. Fazendo relações do que ele vê dentro da escola com o que ele já conhece fora da escola. Compartilhado por ele no seu convívio sócio-cultural.
Nosso trabalho foi dividido em momentos. No primeiro refletiremos acerca do ensino da Matemática, abordando sobre os estudos de Gardner acerca das inteligências múltiplas, o ensino da matemática e a avaliação da aprendizagem. No segundo, discutiremos sobre a criança e a ideia do número e sua representação. No terceiro, um enfoque ao ensino da Geometria. Por fim, trazemos nossas considerações finais e as obras pesquisas para se concluir este relatório de final de área.

1 Reflexão acerca do ensino da Matemática

A Matemática surgiu na antiguidade por necessidades da vida cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variedades e extensas disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza.
Com um conhecimento superficial matemático, é possível reconhecer certos traços que a caracterizam: abstração, previsão, vigor lógico, caráter irrefutável de suas conclusões, bem como o extenso campo de suas aplicações.
A Matemática move-se quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos.
Em sua origem, a matemática constituiu-se a partir de uma coleção de regras isoladas de decorrentes experiências diretamente conectadas com a vida diária. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade complexa, que exige novos padrões de produtividades, depende cada vez mais do conhecimento matemático. É importante destacar que a matemática deverá ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode fornecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade e estética e de sua imaginação.

No âmbito escolar, a educação matemática é vista como uma linguagem capaz de traduzir a realidade e estabelecer suas diferentes mudanças e implicações. Segundo D`Ambrósio, a matemática tem sido concebida e tratada como conhecimento congelado, criando barreiras entre o educando e o objeto de estudo por não possuir a dinâmica do mundo na qual o mesmo está inserido.
A história nos mostra que o ensino da matemática foi organizado a partir das necessidades de cada povo. Os primeiros indícios de construção de conhecimentos matemáticos são heranças dos povos egípcios e babilônios (2500 a.c). Esses povos a usavam para resolver problemas práticos, geralmente ligados ao comércio, cálculo de impostos, construções de habitações, monumentos funerários e medidas de terras. Porém a concepção do conhecimento matemático abstrato, independente do empírico, influência, até hoje, na matemática que se quer ensinar na escola.

1.1 As Inteligências Múltiplas de Gardner e o ensino da Matemática

No início da década de 1980, Howard Gardner, claramente explica em suas obras, as teorias das inteligências múltiplas que possui atualmente milhares de adeptos e que se constituiu como prática pedagógica de inúmeras escolas no mundo inteiro.
As repercussões do avanço científico representado pelo conhecimento do cérebro são extremamente significativas para a medicina na compreensão de disfunções mentais e para o cuidado das enfermidades e patologias cerebrais. Também na educação, que lança novas bases e, eventuais diretrizes, para compreender a aprendizagem, desenvolve estímulos às inteligências com o fim de cuidar dos distúrbios ligados à atenção, criatividade e memorização.
Segundo Gardner o nosso cérebro abriga oito inteligências ou capacidades, são elas:
  • Linguística ou Verbal, é extremamente encontrada em profissionais como poetas, escritores, advogados, atores e outros, que fazem da palavra e das sentenças verdadeiras peças com os quais edificam a beleza do falar.
  • Lógico-matemática, se apresenta de forma inusitada em grandes nomes como os de Einstein, Bertrand Russel, Euclides, Pitágoras e outros. Esta capacidade é principalmente encontrada nos engenheiros e projetistas. Manifesta-se pela capacidade e sensibilidade de discernir padrões lógicos ou numéricos e a capacidade de trabalhar com longas cadeias de raciocínio. Os estímulos para seu desenvolvimento estruturaram na pessoa novas formas sobre o pensar e uma percepção apurada dos elementos da grandeza, peso, distância, tempo e outros elementos que envolvem nossa ação sobre o ambiente.
  • Espacial, esta muito ligada à criatividade e a concepção, no plano espacial, de sólidos geométricos. Marcante em arquitetos, publicitários e inventores, associa-se também a própria compreensão do espaço como um todo e a orientação da pessoa e seus limites.
  • Sonora ou Musical, esta associada com a percepção do som como unidade e linguagem. Essa capacidade se encontra de forma marcante em grandes nomes como: Mozart, Beethoven e outros. Também se apresenta de forma evidente em pessoas comuns que conseguem perceber com singularidade o acorde de uma música.
  • Cinestésico-corporal, é a capacidade de desenvolver movimentos que expressam a linguagem corporal. Marca de forma expressiva a capacidade de comunicação de profissionais como mímicos, mágicos, bailarinos, atletas e outros.
  • Naturalista, Biológica ou Ecológica, esta capacidade está estruturalmente ligada aos animais e vegetais. Se encontra presente em grande nomes das Ciências Naturais como Darwin, Laplace, Humboldt e outros, manifesta-se em diferentes níveis de capacidade, por exemplo, do jardineiro ao paisagista, do amante da natureza a florista.
  • Intrapessoal, que está ligada a percepção da própria identidade, pois o indivíduo que a tem de forma aguçada tem plena compreensão do eu, pois consegue discernir e discriminar as próprias emoções.
  • Interpessoal, que está associada à empatia, ou seja, a relação de afetividade que se dá entre os indivíduos, tendo o outro como objeto de plena descoberta. O indivíduo que apresenta está capacidade de forma aguçada consegue perceber as mudanças de temperamentos, estados de humor, motivações e desejos das outras pessoas.
Cabe a escola estimular nos alunos essas inteligências por meio de estratégias pedagógicas (jogos, brinquedos e brincadeiras), de forma que eles consigam desenvolver suas habilidades e competências. Assim, é importante que o professor saiba como atuar pedagogicamente com seus alunos para que eles alcancem esses objetivos. Porque durante muitos anos, o cérebro humano foi considerado como sendo uma área impenetrável. Há muitas décadas já se compreendia o funcionamento de várias partes do corpo humano, mas, o cérebro ainda era considerado como sendo uma estrutura impenetrável, apenas era possível visualizá-lo após o falecimento de suas funções neuronais. Nos dias de hoje, estudos acerca do funcionamento da mente e do cérebro vêm se tornando cada vez mais populares, pois, atualmente dispomos de novas tecnologias que são capazes de fornecer subsídios mais concretos sobre estes assuntos.
Quanto ao entendimento de como ocorre a aprendizagem da matemática, a Psicologia da Educação relaciona a proposição numa abordagem integrada do individuo humano que se dispõe a aprender matemática como alguém possuidor de uma subjetividade sempre embebida em um contexto cultural especifico, porém jamais submetida ou diretamente moldada por este ultimo. Abordar esta mesma discussão agora de um ponto de vista metodológico implica eleger o foco de analise suficientemente circunscrito para ser pesquisado e, simultaneamente, complexa pra ser representativo das situações de aprendizagem em matemática, de forma a se poder construir uma boa narrativa a cerca de pessoas envolvidas em atividades de aprendizagem da matemática. “ O cérebro funciona em módulos cooperativos que se ajudam na hora de recuperar informações. Quanto mais caminhos levam a ela, mais fácil será o resgate”, (Revista Nova Escola, p. 44, 06/2003). 

1.2 A avaliação da aprendizagem matemática

Atualmente as escolas, na sua grande maioria, possuem uma política de avaliação de rendimento escolar centrada por assim dizer, na dicotomia aprovação/reprovação. Neste contexto, não há espaço para uma prática de avaliação, que ajude na identificação de superação de dificuldades no processo de ensino e aprendizagem, tanto do aluno como do professor.
A avaliação na maioria das nossas escolas, públicas ou não, é eminentemente somativa, sempre preocupada com os resultados finais que levam a situações irreversíveis no que diz respeito ao desempenho dos alunos, sem que sejam levadas em contas a muitas implicações, inclusive sociais, de um processo decisório fatal do ponto de vista educativo.

Avaliar a aprendizagem corresponde a uma necessidade social. A escola recebe o mandato social de educar as novas gerações e por isso, deve responder por esse mandato, obtendo dos seus educandos a manifestação de suas condutas aprendidas e desenvolvidas“ (LUCKESI, p.174,2002).
Nos valendo das ideias de Piaget (1991) que considera que a escola e alguns professores têm retirado a autonomia do aluno como meio para desenvolver a aprendizagem com maior eficiência e criatividade. Segundo ele, os professores com atitudes negativas não encorajam os alunos a desenvolverem e a atingirem a esta autonomia, limitando muito o desenvolvimento do pensamento crítico, isto, os professores com atitudes negativas dão oportunidade aos alunos de persistirem em seus próprios esforços. Portanto, é de fundamental importância que as escolas desenvolvam programas que ajudem não apenas o aluno, mas também os professores a desenvolver atitudes favoráveis em relação a aprendizagem matemática.
É fundamental ver o aluno como um ser social e político sujeito de seu próprio desenvolvimento. O professor não precisa mudar suas técnicas, seus métodos de trabalhos; precisa sim, ver o aluno como alguém capaz de estabelecer uma relação cognitiva e efetiva, mantendo uma ação interativa capaz de uma transformação libertadora, que propicia uma vivencia harmoniosa com a realidade pessoal e social que o envolve.
Assim, compreendemos que o professor que leciona matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental deve agir sempre como facilitador, aquele que ajuda o aluno a superar seus limites. Valendo-se de atividades e avaliações criativas que permita ao seu aluno construir a aprendizagem de forma significativa, ou seja, que o faça interagir conhecimento escolar com o meio social no qual está inserido.

2 A criança e a ideia do número e sua representação

2.1 O número natural

O Número Natural nasceu da necessidade de se compararem umas as outras grandezas discretas. As combinações dessas grandezas deram origem à ideia de operação sobre números. A pratica da adição e o conhecimento mais ou menos claro das suas propriedades fazem parte da atividade mental elementar. Reunir coleções distintas em uma única, e prever o resultado, essa operação banal é a gênese do pensamento matemático.
Os documentos de fontes babilônica e egípcia revelam, desde épocas muito remotas, um grande adiantamento nos processos de cálculos, compreendendo a adição, a multiplicação, a divisão, a determinação de quadrados e cubos. As tabuas babilônicas remontam ao ano 2300 a.C., e empregam os sistemas de numeração decimal e sexagesimal. Serviam os cálculos e fins exclusivamente utilitários; nas medidas, nas trocas comercia nas combinações do calendário, etc.
O numeral, de acordo com Piaget, e uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objeto (por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica.
A teoria do número de Piaget também é contrária ao pressuposto comum de que os conceitos numéricos podem ser ensinados pela transmissão social como o conhecimento social (convencional), especialmente em relação ao ato de ensinar as crianças a contar. Exemplos de conhecimentos sociais (convencional) são os que se referem a fatos como de que o natal sempre ser comemorado no dia 25 de dezembro, que algumas pessoas cumprimentam-se em certas circunstâncias, apertando as mãos, e que as mesas não foram feitas para que se fique de pé sobre elas. 

A origem fundamental do conhecimento social é pautada em convenções construída pelas pessoas. A característica principal do conhecimento social e a de que possui uma natureza amplamente arbitrária. O mesmo objeto pode ter diversos nomes varias línguas distintas, uma vez que não exista nenhuma relação física ou lógica entre um objeto e seu nome. Portanto, para a criança construir o conhecimento social e indispensável a interferência de outras pessoas.
Portanto, a visão de Piaget constata com a crença de que um mundo dos números em direção ao que toda criança deve ser socializada. Pode-se afirmar que há consenso a respeito da soma de 2+3, mas nem o número, nem a adição estão lá fora, no mundo social, para serem a resposta correta para 2+3, mas não será possível ensinar-lhes diretamente as relações que subjazem esta adição. Da mesma forma, até as crianças de dois anos podem ver a diferença entre uma pilha de três blocos e uma de dez. Mas isto não implica que o número esteja lá fora, no mundo físico, para ser aprendido através da abstração empírica. “A atividade matemática escolar não é um olhar para as coisas prontas e definidas, mas a construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servira dele para compreender e transformar sua realidade”, (PCN: Matemática, p.19, 2001).
A criança que já construiu o conhecimento lógico-matemático é capaz de representar esta ideia com símbolos ou com signos. Na teoria de Piaget os símbolos diferem dos signos no sentido de que os símbolos mantêm uma semelhança figurativa com os objetos representados e são criados pela criança.
O objetivo para ensinar o número e o da construção que a criança faz da estrutura mental de número uma vez que esta não pode ser ensinada diretamente, o professor deve priorizar o ato de encorajar a criança a pensar ativa e autonomamente em todos os tipos de situações. Uma criança que pensa ativamente, constrói o número. A tarefa do professor a encorajar o pensamento espontâneo da criança, o que é muito difícil porque a maioria de nos foi treinada para obter das crianças a produção de respostas certas. As relações são criadas pelas crianças a partir de seu interior e não lhe são ensinadas por outrem. No entanto, o professor tem um papel crucial na criação de ambiente material e social que encoraje a autonomia e o pensamento. 

As crianças podem saber como recitar números numa sequência correta, não escolhem necessariamente usar esta aptidão como ferramenta confiável. Quando a criança constrói a estrutura mental do número e assimila as palavras e esta estrutura a contagem torna-se um instrumento confiável. No entanto, antes dos sete anos de idade, a correspondência um a um, a copia da configuração espacial, ou mesmo estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais viáveis.
As crianças não aprendem conceitos numéricos com desenhos. Tampouco aprendem conceitos numéricos meramente pela manipulação de objetos.Elas constroem esses conceitos pela abstração reflexiva a medida em que atuam (mentalmente) sobre os objetos.
Hoje em dia, os educadores da educação pré-primaria frequentemente definem seus objetivos dizendo que as crianças devem aprender os chamados conceitos, tais como os de números, letras cores, formas geométricas, em cima, embaixo, entre, da esquerda, mais cumprido, primeiro, segundo terceiro e etc.
Algumas habilidades matemáticas que a criança pré-escolar e ate a idade de 8 anos apresenta antes mesmo de ser formalmente instruída sobre conceitos matemáticos. Essas habilidades referem-se aos conceitos espontâneos que a criança constrói a partir de suas experiências e ações sobre o mundo. “É possível concluir que existe um conhecimento intuitivo, espontâneo, sobre adição e a subtração desde muito cedo, conhecimento este que antecede a instrução escolar”, (Revista SBEM, nº 3, p. 43, 2º sem 1994).
Na teoria piagetiana, a brincadeira não recebe uma conceituação especifica. Entendida como ação assimiladora, a brincadeira aparece como forma de expressão da conduta, dotada de características metafóricas com espontânea, prazerosa, semelhantes as do romantismo da Biologia. Ao colocar a brincadeira dentro do conteúdo da inteligência e não na estrutura cognitiva, Piaget distingue a construção das estruturas mentais da aquisição de conhecimentos. A brincadeira enquanto processo assimilativo e participa da inteligência, a semelhança da aprendizagem.
Através do lúdico a criança assume o conteúdo matemático com a finalidade de desenvolver habilidades de resolução, dando a si mesma a oportunidade de estabelecer e atingir determinados objetivos. Na maioria das vezes os professores deixam de buscar alternativas pedagógicas que favoreçam aos alunos construírem a aprendizagem de forma que eles sejam capazes de desenvolverem suas habilidades e competências. Penso que, é bastante importante para o professor estar sempre atento para ampliar meios e recursos para estimular o interesse e a participação da criança na sala de aula. Acredito que, uma criança entenderá de melhor maneira os números e as operações matemáticas se puderem manipular materiais concretos. Pois a criança conseguirá, desta maneira, estabelecer as relações necessárias entre o conhecimento dado na escola com o que ela conhece de mundo.

2.2 O número racional

O estudo do número racional é geralmente desenvolvido pela escola de forma fragmentada. O conceito de número racional, por ser bastante complexo do ponto de vista matemático, gera uma serie de dificuldades no processo ensino-aprendizagem, cuja superação tem motivado a realização de pesquisas.
Sumérios, egípcios e babilônios já usavam frações em 3100 a.C. quando registravam em tabuletas de argila fresca o inventário de seus bens com sacos de grãos, etc. As representações eram esquisitas, bem diferentes da atual. Um lado da tabuleta trazia a quantidade dos bens. Os totais vinham no verso. Como no criptograma das palavras cruzadas, os símbolos foram decifrados pelos historiadores depois de seguidas substituições nas duas faces das tabuletas. Primeiro se chegou aos inteiros, entalhes simples que se repetiam. Como esses números eram sempre registrados em ordem crescente, concluiu-se que o que estava à esquerda da unidade era sempre uma fração.
Aguiar (1980), desenvolveu um estudo com o objetivo de analisar, dentre outros, a natureza dos processos envolvidos na construção do conceito de fração, verificando que as relações parte-todo e parte-parte, indicadas por Piaget, entram no desenvolvimento dos conceitos de frações...idênticas e equivalentes,... inicialmente, através da contagem e da impressão perceptiva da magnitude das figuras geométricas, e sem que haja articulação entre esses dois processos (p.6-7).
Lima (1985) analisou o desenvolvimento dos conceitos de fração e de conservação em quantidades discretas e contínuas, constatando que a conservação da quantidade discreta (de coleções) antecede a conservação de quantidades contínuas (áreas, volumes etc.), em geral, em torno de um ano, pelo fato da criança lidar muito cedo com conjuntos e coleções. Iniciar, portanto, o estudo da fração utilizando coleções e fracionando as mesmas talvez seja o mais indicado.


Guimarões e Silva (1991), observaram que as dificuldades dos alunos e dos professores envolvendo as frações com quantidades discretas eram as mesmas, embora estes tenham apresentado um melhor desempenho que os alunos, resolvendo as frações com quantidades contínuas. Encontraram, trataram, também, indicações de que as dificuldades se relacionavam mais ao ensino do que aobstáculos relativos ao desenvolvimento dos alunos. Para aprofundar a analise sobre dificuldades na resolução de problemas com frações, Carraher e Schliemann (1992) investigaram a utilização de frações literais e frações relativas. Concluíram que havia uma grande tendência, por parte de alunos, em relacionar o numerador e o denominador, respectivamente, ao numero de elementos marcados e ao numero total de elementos de um conjunto. Quando não havia essa relação muitos alunos não aceitavam a fração como uma representação da figura.
Os resultados das análises quantitativas evidenciaram o progresso dos alunos, com a intervenção e os seguintes aspectos: os alunos não cogitam de que a divisão tem que ser em partes iguais para que se obtenha uma fração; as questões de equivalência crescem em dificuldade quanto há necessidade de um passo intermediário; é muito difícil para os alunos estabelecerem relações entre as questões que envolvem representações gráficas relacionadas com equivalência; as dificuldades nas questões de ordenação aumentam sensivelmente quando o número de frações é maior do que dois.
A noção de equivalência é em geral explorada apenas por meio da regrinha obtêm-se uma fração equivalente a uma fração dada, multiplicando ou dividindo mero, diferente de zero. Ela, no entanto, não diz nada ao aluno.
O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidenciar uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos. (PCN: Matemática, p.45, 2001).
O conceito de frações equivalentes como àquelas que representam a mesma quantidade só pode ser construído a partir de experiências concretas e representações gráficas que são dadas aos alunos por meio de atividades lúdicas que trazem a realidade que eles vivenciam para a sala de aula. 

3 Um enfoque ao ensino geométrico

O homem neolítico representava elementos do seu convívio, através de desenhos, criando utensílios e instrumentos para expressar as relações vivenciadas por ele no seu dia-a-dia. Ele registrou a historia e demonstrou preocupação com, as relações espaciais. As primeiras considerações que o homem fez a respeito da Geometria são, inquestionavelmente, muito antigas. Parecem ter se originado de simples observações provenientes da capacidade humana de reconhecer configurações físicas de comparação de formas e tamanhos.
Num outro período histórico, os egípcios utilizaram processos de medição de terras com a finalidade de resolver o problema oriundo das enchentes anuais do rio Nilo que apagava as demarcações das terras ao seu redor. Essas demarcações foram determinantes para regularizar as posses e efetuar a cobrança dos impostos sobre as terras. Todos esses conhecimentos antigos foram deixados como experiência para a posteridade.
Inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo do homem mais primitivo, o levavam a um certo montante de descobertas geométricas subconscientes. A noção de distância foi, sem dúvida, um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos. A necessidade de delimitar a terra levou à noção de figuras simples tais como retângulos e quadrados. Outros conceitos geométricos simples, como as noções de vertical, paralelismo e perpendicularismo, teriam sido sugeridos pela construção de muros e moradias.
O homem ao criar, construir, resolver as situações-problemas, ele toma consciência de si mesmo e de tudo que o cerca, assimila conceitos, descobre relações, formula generalidades que os leva a construir o conhecimento matemático geométrico. (LIMA e VILA, fascículo. Nº 8, 2002)
As muitas observações do cotidiano levaram o homem primitivo à concepção de curvas, superfícies e sólidos. Por exemplo, há registro de figuras desenhadas em paredes de cavernas que sugerem círculos numerosos, entre outros o contorno do sol e da lua, o arco-íris, as sementes de muitas flores e o corte transversal de um tronco de árvore.
Em outros registros aparece o desenho do lançamento de uma pedra, que arremessada descreve o trajeto de uma parábola; uma corda não esticada e pendurada pelas pontas forma uma catenária; uma corda enrolada forma um espiral; os círculos de crescimento do tronco de uma árvore, os círculos concêntricos provocados na superfície de um lago por uma pedra nele arremessada e figuras sobre certas conchas que sugerem a ideia de famílias de curvas.
Muitas frutas e seixos são esféricos e bolhas de água são hemisféricas; alguns ovos de pássaros são aproximadamente elipsóides de revolução; um anel é um toro; troncos de arvores são cilindros circulares; configurações cônicas são frequentemente encontradas na natureza. Oleiros primitivos construíam muitas superfícies e sólidos de revolução. Corpos de homens e animais, a maioria das folhas e flores e certas conchas e cristais ilustram a ideia de simetria. A ideia de volume surge imediatamente ao se considerarem recipientes para conter líquidos e outras mercadorias. Assim, podemos dizer que a geometria empregada pelo homem primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos preparou o caminho para o desenvolvimento geométrico posterior.
Por volta do ano 600 a.C., os gregos começaram a introduzir a dedução geométrica, dando origem ao que hoje consideramos geometria demonstrativa. Com o passar do tempo esse olhar sobre o pensamento geométrico tornou-se o estudo axiomático-material do espaço físico idealizado: formas, tamanhos e relações de objetos físicos contidos no espaço. Para os gregos só havia um espaço físico e uma única geometria; estes eram conceitos absolutos, o espaço não era pensado como uma coleção de ponto de vista, a relação básica em geometria era a de congruência ou superposição. 

Por um longo tempo a compreensão da geometria esteve intimamente ligada ao espaço físico, começando na verdade como uma acumulação gradual de noções subconscientes sobre o espaço físico e as formas contidas nesse espaço. A essa visão primitiva damos o nome de geometria subconsciente. Mais tarde, a inteligência humana evoluiu tornando-se capaz de consolidar conscientemente algumas das noções primitivas da geometria num conjunto de leis e regras um tanto geral. Os estudiosos chamam essa fase laboratorial do desenvolvimento do pensamento geométrico de geometria cientifica. 

Todos esse caminhar concuminou na atual conhecimento chamada de geometria analítica que, na primeira metade do século XVII, passa a considerar o espaço como sendo como uma coleção de pontos. Com a invenção da geometria não euclidiana clássica, cerca de dois séculos mais tarde, os matemáticos aceitaram a situação de que há mais do que um espaço concebível e, portanto, mais do que um só olhar geométrico. Mas o espaço ainda era considerado como um lugar onde as figuras podiam ser comparadas entre si. A ideia central tornou-se a de um grupo de transformações congruentes do espaço em si mesmo, e a geometria passou ser considerada como estudo das propriedades das configurações de pontos que permanecem inalterados, como os espaços circundantes que estão sujeitos constantemente a transformações.
Há muitas áreas da matemática em que a introdução de um procedimento e uma terminologia geométrica simplifica na compreensão como a apresentação de um determinado conceito ou desenvolvimento. Isto está se tornando cada vez mais evidente, tanto que muitos matemáticos do século XX sentem que talvez a melhor maneira de descrever a geometria hoje não seja como um corpo de conhecimentos, algo separado e determinado, mas como um ponto de vista, uma maneia particular de observar o espaço












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